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理想气体状态方程的统计力学推导

理想气体状态方程想必大家已经非常熟悉了。下面记一下如何从统计力学的角度推出理想气体状态方程。

系综

一定条件下体系可能存在的状态的集合称之为ensemble(系综),是系统状态的概率分布,可与概率空间进行类比。

canonical ensemble(正则系综)
可与大热源交换能量的体系集合,各体系具有相同温度

grand canonical ensemble(巨正则系综)
可与大热源交换能量和与大粒子源交换粒子的体系集合,各体系具有相同的温度化学势

microcanonical ensemble(微正则系综)
能量和粒子守恒的孤立系统,各体系状态等概率

相空间

一个包含$N$个粒子的系统具有$6N$的自由度,其中由位置$\mathbb Q$组成的$3N$维空间称之为configuration space(构形空间),由动量$\mathbb P$组成的$3N$维空间称之为momentum space(动量空间),由$(\mathbb P, \mathbb Q)$组成的$6N$维空间称之为phase space(相空间)。

Heaviside函数

Heaviside函数,也称为阶跃函数,其定义为:

当$\Theta$函数作用于一个检验函数$\psi(x)$时,等于如下积分:

另外

相空间体积

对于能量处于$(E, \delta E)$的系统,相空间的体积可由下面的积分给出:

理想气体状态方程