0%

鞍点近似

鞍点法近似(saddle point approximation),又称为stationary phase approximation,用于计算下列积分在$ N \to \infty $时的渐进行为。

其中涉及到复变函数的一些基本性质。

复数及复变函数性质

复变量$z$在复平面可表示为$ z = x+yi $,其复变函数可表示为$ f(z) = u + vi $,其中$ u = u(x, y), v = v(x, y) $。

另外也可以用极坐标来表示:$ z = |z|e^{i \phi} $,其中$\phi$决定了复变量的方向。

当$f(z)$在区域内处处可导,则称$f(z)$为该区域内解析。而解析函数的充要条件为函数$f(z)$在该区域内连续,同时满足C-R条件(Cauchy-Riemann condition)。

C-R条件

复变函数$f(z)$的极限存在的必要条件之一为与$z$逼近极限的路径无关,所以我们可以考虑分别从实轴和虚轴去逼近函数极限来求$f(z)$的导数。

从实轴求导:$ z+\Delta z = (x+\Delta x) + yi $

从虚轴求导:$z+\Delta z = x+(y+\Delta y)i $

比较$(1)$和$(2)$,我们就可以得到可导函数的Cauchy-Riemann条件:

调和性

满足解析条件的复变函数$f(z)$,其实部函数$u(x, y)$和虚部函数$v(x, y)$具有调和性(Harmonicity):

根据C-R定理:

对于$v$同理可证。

根据调和性,我们可以知道函数的实部$u(x,y)$在两个方向上的二阶导数是异号(如果不为0的话)的,这表明了鞍点的存在。

鞍点近似法

对于积分$ I = \int e^{Nf(z)} dz $,要求$f(z) = u + vi $为解析复变函数,根据解析函数的调和性,$f(z)$有鞍点$z_0$。我们改变积分路径,使其在$z_0$附近为经过$z_0$的直线,并将$f(z)$在$z_0$处进行Tayler展开,于是积分$I$变为:

然后我们将复变量$(z-z_0)$和$f’’(z_0)$均用极坐标来表示:

于是上述积分变为:

可以设想,当$N$非常大时,积分$I$主要是由$f(z_0)$贡献,

Stirling近似

解析函数的积分与路径无关,所以我们可将积分路径$C$变形,使其经过鞍点$z_0$,并