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量子力学里的相空间体积--相空间

量子力学基础

物质波为概率波,将单色平面波写为如下形式:

方便之后归一化为$\delta$函数。其振幅的平方$|\psi(r,t)|^2$对应于粒子坐标的概率密度,因此对于粒子的平均位置$$可以从下式求出:

动量算符

根据波函数的叠加性和Fourier变换,我们可以得到波函数的两种变换形式($r$和$p$均为三维矢量):

其中$|\phi(p, t)|^2$为粒子动量$p$的概率密度分布,所以我们可以得到平均动量$

$:

由此我们可以得到动量的算符表达式。类似的,动能$T = p^2/2m$,角动量$L = r \times p$,我们可以得到动能$T$和角动量$L$的算符表达式:

不确定关系

不确定关系来源于Fourier变换,是Fourier变换的内禀性质,与测量与否无关,与函数的具体形式无关。

假设函数$f(x)$存在Fourier变换,考虑积分:

其中积分符号内的式子等于:

所以$I$可以分为三个部分$I_1, I_2, I_3$:

对于$I_1$,$\int x^2 |f(x)|^2 dx$归一化后即为$\Delta x^2$。

对于$I_2$:

因为积分$\int x |f(x)|^2 dx$,也就是x的期望存在,所以$x|f(x)|^2$在$x \to \infty$时一定为0,否则积分不收敛。

对于$I_3$:

所以$I_3 \sim \Delta \omega^2$。根据Parseval定理:$ \int |f(x)|^2 dx = \frac{1}{2\pi} \int |g(\omega)|^2 d\omega $,对$I$同时除以$\int |f(x)|^2 dx$,可得:

上式是关于$\eta$的二次函数,其二阶导数$2 \Delta x^2 \ge 0$,所以当$\eta = \frac{1}{2 \Delta x^2}$时,函数取最小值,代入上式得:

将动量和波数的色散关系$p = \hbar \omega $代入,可得量子力学中的不确定性原理表达式:

相空间最小单元

相空间中的一个点用于表示系统所处的一个状态,对于力学系统通常用三维方位和三维动量来表示,如果系统中有$N$个粒子,则相空间为$6N$维。根据不确定关系,方位和动量不可同时确定,所以相空间有最小单元体积:$\hbar^3$。