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量子力学里的相空间体积(二)

波函数基础

平面单色波函数:

其中$k=2\pi/\lambda$为波数,$\omega=2\pi f$为角频率。其振幅$\phi$不随时间变化,为定态波函数(并不意味着波函数不随时间变化)。

波函数来自于下面的二阶偏微分方程,平面单色波是其一个特解:

对于平面波,等相位面$ \phi = k \cdot r-\omega t = const $,将坐标对时间求导可得相速度

波包

实际情况中波动的振幅只在空间的有限区域内不为零,所以形象地称之为波包。

wavepacket.png

蓝色实线为波包,红色虚线为包络线。

通常波包可由不同波数$k$的波叠加而成,可写为:

或将波数$k$考虑为连续变化,写为积分形式(Fourier逆变换):

其中$ \phi(k) $为每一个单色波的振幅,角频率$\omega(k)$与波数$k$的函数关系称为波的色散关系

考虑在$ (r_c, t) $处波包的振幅达到最大,那么波包经过传播,在$ (r_c+\Delta x, t+\Delta t) $时再现$ (r_c, t) $处的各个频率的相位,所以相位对于频率的导数应为0:

再对时间求导可得群速度:$ \frac{d r_c}{d t} = \frac{d \omega}{d k} $。

波函数的Fourier变换

所以我们可以考虑对处于$t=0$时刻的波包$\psi(r, 0)$乘以某一个单色波相因子的共轭:$e^{-ik \cdot r}$,根据三角函数积分的正交性,我们就可以得到该单色波的振幅$\phi(k)$:

$\frac{1}{2\pi}$来自于对三角函数周期区间积分所得结果。另外如果将$\psi(r, t)$的表达式代入,根据$\delta$函数的性质,可以得到相同结果: