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量子力学里的相空间体积--Fourier变换

最近学到统计力学中熵的微观含义,恶补了一顿量子力学。起因是在统计力学中,熵$S$和相空间$\Gamma$的体积有关:

根据热力学第三定律(Nernst假设),温度趋于绝对零度时,任何系统的熵为0。所以热力学第三定律应该同时也规定了描述相空间体积的单位,否则当改变$\Gamma$的体积单位时,会在$S$加上一个常数,熵就不再为0了,与热力学第三定律矛盾。下面分为三篇,分别记录Fourier变换与Dirac函数、波函数以及相空间的内容。

Fourier变换与逆变换

Fourier变换将目标函数$f(t)$变为周期为$T/n$的正余弦函数的线性组合。

三角函数形式的Fourier级数:

根据三角函数在周期区间内积分的正交性:

我们在Fourier级数的两边同时对$t$积分:

所以

然后我们在Fourier级数的两边同时乘上$\cos (n \omega t)$,再同时对$t$积分,可得到:

同理,乘上$\sin (n \omega t)$,积分后可得到:

整理之后,我们就可以得到Fourier级数展开的系数项:

其中$a_n$为偶函数,$b_n$为奇函数。

指数函数形式的Fourier级数

根据Euler公式:$e^{ikx} = \cos kx + i\sin kx$,所以三角函数可以表达为:

代入Fourier级数的表达式,合并指数项,并根据$a_n$和$b_n$的奇偶性,可得指数形式的Fourier级数:

注意两个求和符号中$n$的取值范围,其中$F(n \omega) = \frac{a_n-ib_n}{2}$为指前因子。将$a_n$和$b_n$的表达式代入,得:

Fourier积分变换

因为周期$T$与角频率$\omega$满足关系:$T \omega = 2 \pi$,当$T \to +\infty$时,$\omega \to 0$。

对无穷小量的求和满足如下关系:

于是上文的指数形式的Fourier级数,可以扩展为积分形式:

其中令$g(\omega) = \frac{F(\omega)}{\omega}$。

根据上面$F(n \omega) = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} dt$,将 $\omega$ 记为 $\omega’$,根据$T\omega’ = 2\pi$,可得:

当$\omega’ \to 0$时,有:

整理一下,我们就得到了可析函数f(t)的Fourier变换与逆变换:

或改变一下函数前面的系数:

因为频率$f$与角频率$\omega$满足关系:$\omega = 2 \pi f$,所以上式可以改写为:

物理上更多地使用如下形式:

Dirac函数

Dirac函数为一种广义函数,定义为:

并且满足$ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)dx = 1 $。

Dirac函数的性质:

称之为Dirac函数的挑选性。根据挑选性,我们对Dirac函数进行Fourier变换:

再进行Fourier逆变换,我们就可以得到$\delta$函数的表达式之一: